Článek ve formátu PDF je možné stáhnout
zde.
Článek přibližuje koncepci programu Comsol Multiphysics ve vztahu ke známému výpočetnímu systému Matlab a jeho nadstavbě Simulink, určené k simulaci dynamických systémů. Principy spolupráce mezi programem Comsol Multiphysics a prostředím Simulink jsou ilustrovány na jednoduchém příkladu řízení teploty ve vyhřívaného prostoru.
Stalo se již samozřejmým, že součástí jakéhokoliv technického projektu je tvorba modelu navrhovaného systému a v mnoha případech také simulace jeho chování. Úloha simulace spočívá v nasměrování projektantů a technických pracovníků do oblastí, které si zasluhují více nebo méně pozornosti, a tím šetří čas v celém vývojovém procesu. Současně vzniká i ekonomický efekt, když mnoho součástí a komponent navrhovaného systému nebo zařízení a jejich variantních provedení nemusí být vůbec vyrobeno, ale vystačí se s jejich matematickým popisem nebo grafickým ztvárněním. Příklady lze nalézt nejen tradičně v automobilovém průmyslu, v elektrotechnice apod., ale rovněž v podobě aktuálních úspor energie dosahovaných při použití modelů simulace např. také při navrhování topných soustav, vývoji izolačních materiálů i komplexně při projektování inteligentních budov.
Comsol Multiphysics versus Simulink
Na stránkách časopisu Automa již bylo mnohokrát zmíněno simulační prostředí systému Matlab z dílny americké firmy The MathWorks, souhrnně, včetně mnoha svých specializovaných knihoven, označované názvem Simulink. Daleko méně zmínek se týkalo systému Comsol Multiphysics, produktu švédské firmy Comsol AB. Je to logické, protože systém Comsol Multiphysics se od systému Matlab/ Simulink výrazně odlišuje pojetím a způsobem simulace a modelování. Zatímco systém Matlab/Simulink využívá v převážné míře exaktní matematiku a staví na analytických matematických modelech, Comsol Multiphysics je nástroj, který v převážné míře staví na geometrických modelech. Využívá k řešení úloh numerické metody určené k řešení velkého počtu rovnic generovaných z geometrického modelu s vytvořenou sítí konečných prvků podle metody FEM (Final Element Method). Lze říci, že Comsol Multiphysics je určen k modelování fyzikálních dějů popsatelných parciálními diferenciálními rovnicemi (Partial Differential Equation – PDE). Diskretizací děje vzniká úloha řešená metodou konečných prvků (FEM).
Modelování ve spolupráci Comsol Multiphysics a Simulink
Ačkoliv se systémy Comsol Multiphysics a Simulink co do pojetí simulace na první pohled významně odlišují, ve skutečnosti spolu mohou úspěšně komunikovat a vycházet si vstříc. Principy této spolupráce přiblíží následující ilustrativní příklad.
Zadání úlohy
Úkolem je sestavit simulační model regulačního obvodu umožňující sledovat průběh teploty uvnitř vymezeného vytápěného prostoru jako řízené soustavy a při změnách teploty okolního prostředí.
Řízená soustava, kterou v praxi může být např. obytná místnost s oknem, je pro daný účel idealizována do podoby hranolu se šesti stěnami a ocelovým vnitřním topným tělesem podle obr. 1. Pět stěn hranolu je vytvořeno z ideálního izolačního materiálu, který nepropouští žádné teplo ven ani dovnitř hranolu. Šestá stěna je skleněná, částečně tepelně propustná. Se změnou teploty okolního prostředí se tudíž mění i teplota uvnitř hranolu.
Řízenou veličinou je teplota uvnitř hranolu, která je udržována na určité minimální úrovni topným tělesem ovládaným jednoduchou řídicí jednotkou s dvouhodnotovým výstupem (termostatem).
Potřebný simulační model lze s výhodou sestavit z fyzikálního modelu řízené soustavy vytvořeného v systému Comsol Multiphysics a modelu řídicí jednotky vytvořeného v prostředí Simulink a poté ovládat jakoby v jediném společném prostředí.
Tvorba modelu regulačního obvodu
Postup tvorby simulačního modelu regulačního obvodu spočívá ve třech za sebou následujících krocích, jimiž jsou:
-
tvorba geometrického modelu řízené soustavy v prostředí Comsol Multiphysics,
-
export modelu z prostředí Comsol Multiphysics do systému Matlab/Simulink,
-
sestavení funkčního schématu reprezentujícího požadovaný model v prostředí Simulink.
Výsledný úplný dynamický model regulačního obvodu se skládá z funkčních bloků vytvořených v obou uvedených prostředích a funguje v prostředí Simulink.
Model řízené soustavy v prostředí Comsol Multiphysics
Prostorový (3D) objekt podle obr. 1 lze bez újmy na obecnosti postupu zjednodušit na objekt rovinný (2D) a v prostředí Comsol Multiphysics jednoduchými nástroji vytvořit z přímek rovinný geometrický model obdélníkového tvaru, který představuje půdorys dané řízené soustavy včetně topného tělesa (obr. 2). Soustava (hranol z obr. 1) má vnější rozměry 30 × 20 × 100 cm, rozměry topného tělesa jsou 4 × 4 × 100 cm a jeho výkon Q = 2 kW. V souladu se zadáním jsou tři strany obdélníku charakterizovány jako zcela tepelně nevodivé. Čtvrtá strana, na obr. 2 přivrácená doleva, reprezentuje skleněnou stěnu, a je tedy charakterizována jako částečně vodivá.
Dále je v prostředí Comsol Multiphysics třeba sestavit tepelný model soustavy. Okrajové podmínky k tomu potřebné jsou následující: protože obdélník na obr. 2, reprezentující řízenou soustavu, je ze tří stran izolován, neproudí přes tyto jeho strany žádné teplo. Tuto skutečnost popisuje Neumannova počáteční podmínka ve tvaru n(k T) = 0. Čtvrtá strana obdélníku představuje skleněnou stěnu, která je popsána okrajovou podmínkou
(1)
kde
k je tepelná vodivost oceli (W·m–1·K–1),
kg tepelná vodivost skla (W·m–1·K–1),
lg tloušťka skleněné stěny (m),
n jednotkový normálový vektor,
T teplota ve vytápěném prostoru (K),
▽parciální derivace podle prostorových souřadnic, tj. zde (δ/δx, δ/δy).
Další potřebné fyzikální veličiny, které charakterizují prostředí, jsou hustota oceli (materiálu zdroje tepla), jeho tepelná kapacita a tepelná vodivost. Při zadávání fyzikálních vlastností skleněné stěny je třeba vložit hodnoty tepelné vodivosti skla a tloušťky stěny – viz (2).
K výpočtu rozložení teploty ve vnitřním prostoru soustavy se v prostředí Comsol Multiphysics použije aplikační modul PDE s názvem Heat Transfer by Conduction (přenos tepla vedením – obr. 3) ze základní nabídky řešící parciální diferenciální rovnici
(2)
kde
C je tepelná kapacita oceli (J·kg–1·K–1),
Q výkon zdroje tepla (W·m–3) počítaný na objem zdroje telpla,
t čas (s),
ρ hustota oceli (kg·m–3),
¶T/¶t člen určující vývoj řešení úlohy v čase,
▽(k▽T) tepelný tok uvnitř soustavy v jednotlivých částech její geometrie.
Závěrem je třeba v systému Comsol Multiphysics vygenerovat síť konečných prvků potřebnou k výpočtu. K vlastnímu chodu vyžaduje geometrický model soustavy v programu Comsol Multiphysics dva vstupy: stav zdroje tepla (topí/netopí) a teplotu Tout. Na obr. 2 je úloha vyřešena v čase od t = 0 do t = 20 s. Je možné vypočítat a zobrazit teplotní pole uvnitř soustavy ve vybraném řezu a v každém časovém okamžiku od 0 do 20 s (časový interval lze uživatelsky definovat).
Export modelu soustavy do prostředí Matlab/Simulink
Vytvořený tepelný model soustavy se z prostředí Comsol Multiphysics vyexportuje (obr. 4) do prostředí Matlab/Simulink ve formě datové struktury, která posléze figuruje v bloku představujícím model řízené soustavy jako přenosová funkce. Na vstupu datové struktury jsou dva již zmíněné parametry definované v grafickém rozhraní pro export do prostředí Simulink – proměnná HeatState, specifikující stavy zdroje zapnuto/vypnuto (topí/netopí, hodnoty 0 a 1), a teplota okolí Tout. Výstupem je teplota T (symbolický název Temp).
Jednomu bodu uvnitř modelu soustavy je přiřazena teplota, která se počítá v průběhu výpočtu v každé části geometrie a v čase se její hodnota mění. Zvolený bod v tomto případě pracuje jako softwarový snímač teploty. Jeho polohu lze měnit libovolně, což na modelech složitých řízených soustav s dynamicky proměnným tvarem pole (např. koncentrace látky ve směšovačích apod.) usnadňuje nalezení pracovního bodu (oblasti), kam je třeba umístit snímač hodnoty regulované veličiny, aby vždy měřil její správnou hodnotu.
Model regulačního obvodu v prostředí Simulink
Posledním krokem je vytvořit model regulačního obvodu v podoběschématu v prostředí Simulink (obr. 5). Do modelu řízené
soustavy vytvořeného v prostředíComsol Multipysics (COMSOL Multiphysics Subsystem v obr. 5) vstupuje v daném konkrétním případě vnější teplota, která se v čase sinusově mění se zadanou frekvencí okolo střední hodnoty 15 °C s rozkmitem ±10 K. Její charakter určují bloky Constant a Sine Wave.
Veličina HeatState, reprezentující stav (0/1) termostatu, přichází z bloku Relay. Zde se testuje, zda údaj softwarového snímače teploty je větší nebo menší než žádaná teplota (nastavená na 20 °C – blok Constant1). Podle výsledku proměnná HeatState nabývá hodnoty 1 nebo 0 a zdroj tepla specifikovaný v oblasti modelu sestaveném v prostředí Comsol Multiphysics topí nebo netopí, protože je charakterizován jako Q * HeatState. Činnost sestaveného modelu regulačního obvodu je ukázána na obr. 6.
Závěr
S cílem názorně ukázat princip spolupráce využití programů Comsol Multiphysics a Simulink je uveden jednoduchý příklad tvorby simulačního modelu regulačního obvodu. Obdobně se postupuje při řešení složitějších úloh, při vypracovávání projektu např. vytápění inteligentní budovy apod.
Ing. Karel Bittner, Humusoft s. r. o.
Obr. 1. Ideální řízená soustava
Obr. 2. Geometrický 2D model řízené soustavy se zobrazením teplotního pole ve vybraném vodorovném řezu soustavou v čase t = 20 (prostředí Comsol Multiphysics)
Obr. 3. Ovládací okno modulu Heat Transfer by Conduction (prostředí Comsol Multiphysics)
Obr. 4. Export modelu soustavy z prostředí Comsol Multiphysics do prostředí Matlab/Simulink
Obr. 5. Model regulačního obvodu jako schéma v prostředí Simulink
Obr. 6. Činnost modelu regulačního obvodu (prostředí Simulink)