Aktuální vydání

celé číslo

07

2021

Automatizace řízení dopravy a infrastruktury, nabíjecí stanice, autonomní vozidla

celé číslo

Přehledný kalkul uzavřených regulačních obvodů

Článek navazuje na [1], kde je uveden přehledný kalkul tříparametrových modelů (regulovaných soustav prvního řádu), a pokračuje uvedením přehledného kalkulu pro uzavřené regulační obvody. Cílem je popsat postup identifikace tříparametrových modelů na základě jednoduchého kalkulu uzavřených regulačních obvodů a dále určit průměrnou dobu ustálení uzavřených regulačních obvodů, která je důležitým parametrem určujícím jejich chování. Podobně jako [1], i zde navržený kalkul poskytne jednoduché převodní tabulky, které umožní rychle odhadnout chování uzavřeného regulačního obvodu jak s PID regulátorem, tak i v obecnějších případech.
 

1. Úvod

 
Po shrnutí výsledků získaných v [1] je dána obecná racionální přenosová funkce
 
rovnice 1
 
která se rozloží v McLaurinovu řadu
 
G(s) = K(1 + g1s + g2s2 + …)          (2)
 
jejíž koeficienty je možné určit bez složitých pomocných výpočtů. Pouze se vynásobí rozvoj G(s)/K podle (2) jmenovatelem obecné přenosové funkce (1) a zjistí se hodnoty gnporovnáním koeficientů u stejných mocnin v tomto součinu a v čitateli obecné přenosové funkce. Získá se soubor lineárních rovnic
 
n1 = g1 + d1
n2= g2 + d1g1 + d2          (3)
… = …………….
 
umožňující postupně určit hodnoty koeficientů g1, g2, …, gn. Jestliže obecná přenosová funkce obsahuje neracionální části, např. exponenciální funkci spojenou s dopravním zpožděním, použije se opět McLaurinův rozvoj těchto částí do čitatele nebo jmenovatele obecné přenosové funkce. Jako příklad je v [1] uvedena v praxi často používaná přenosová funkce
 
rovnice 4
 
kde T1 je dopravní zpoždění, kterou lze přepsat do tvaru
 
rovnice 5
 
Přímým výpočtem se získá
 
rovnice 6
 
Uvedené parametry postačují ke stanovení tříparametrového modelu regulované soustavy; Tar přitom označuje průměrnou dobu ustálení soustavy.
 
Teď ovšem lze přirozeně zkoumat následující situaci. Soustava se spojí s regulátorem a zavede se zpětná vazba. McLaurinùv rozvoj je přitom možné použít jak na soustavu, tak na regulátor a ptát se, jak na základě těchto rozvojů vypadá McLaurinův rozvoj přenosových funkcí uzavřeného regulačního obvodu.
 
První úloha, která bude zkoumána, zní, zda při znalosti McLaurinova rozvoje přenosové funkce uzavřeného regulačního obvodu lze stanovit parametry tříparametrového modelu charakterizující regulovanou soustavu. Další úlohou bude výpočet průměrné doby ustálení uzavřeného regulačního obvodu na základě znalosti McLaurinova rozvoje přenosových funkcí regulované soustavy a regulátoru. Jde o údaj důležitý k posouzení rychlosti regulace. Obecně by regulační obvod měl být při regulaci rychlejší nebo alespoň stejně rychlý jako samotná regulovaná soustava. Uvedený kalkul umožňuje rychlosti regulačního pochodu jednoduše porovnávat.
 

2. Identifikace tříparametrového modelu soustavy

 
Díky již naznačenému kalkulu, rozvedenému v [1], je možné identifikovat tříparametrový model regulované soustavy ze skokové odezvy libovolného stabilního uzavřeného regulačního obvodu s PI regulátorem.
 
Označí-li se po řadě G(s) a C(s) přenosové funkce soustavy a PI regulátoru, P(s) a Q(s) přenosové funkce uzavřené regulační smyčky mezi regulovanou veličinou y (výstupem ze soustavy), akční veličinou u (výstupem z regulátoru) a žádanou hodnotou w, při použití McLaurinova rozvoje pro ně se získají vztahy
 
G(s) = K(1 + g1s + g2s2 + …)          (8)
 
rovnice 9
 
rovnice 10
 
rovnice 11
 
Přímé výpočty [3] vedou k těmto vztahům pro výpočet parametrů K, Tar a T tříparametrového modelu soustavy
 
rovnice 12
 
rovnice 13
 
rovnice 14
 
kde
 
rovnice 15
 
rovnice 16
 
přičemž y(t) a u(t) jsou přechodové odezvy soustavy a regulátoru na skok žádané hodnoty o velikosti w(∞). Aproximace integrálů (15) a (16) lze snadno vyčíslit ze zaznamenaných regulačních odezev.
 

3. Kalkul uzavřeného regulačního obvodu

 
Kalkul uzavřeného regulačního obvodu se použije zejména k rychlému stanovení průměrné doby ustálení tohoto obvodu. Bude předpokládán rozvoj obecné přenosové funkce soustavy G(s) podle (8) a přenosová funkce PI regulátoru C(s) podle (9). Přenosová funkce uzavřeného regulačního obvodu P(s) má potom tvar
 
rovnice 17
 
Použitím kalkulu z [1] se snadno najde vztah pro průměrnou dobu ustálení uzavřeného regulačního obvodu, která se označí
Tarc. Platí
 
rovnice 18
 
Aby regulace měla nějaký smysl, mělo by přirozeně být Tarc ≤ Tar (vyjma soustav s čistým dopravním zpožděním nebo blízkých tomuto stavu) s tím, že horní hranice je zajímavá tím, že regulační obvod pracuje přirozeně, vyváženě, tedy má stejnou průměrnou dobu ustálení, jakou má regulovaná soustava. To je např. případ vyváženého nastavení [2], pro které přirozeně platí Tarc = Tar. Zkoumejme z tohoto pohledu jiné zajímavé nastavení PI regulátoru, známé jako „Lambda nastavení“ (Lambda tuning), které je dáno vztahy [2]
 
TI = T         (19)
 
rovnice 20
 
kde
λ je ladicí parametr,
L dopravní zpoždění tříparametrového modelu.
 
V případě PI regulátoru je doporučená hodnota λ = 1. Přímým výpočtem se dostane
 
Tarc = (λ + 1)L          (21)
 
což v případě PI regulátoru znamená Tarc = 2L, a jestliže L = T, pak Tarc= Tar. Jestliže tedy u soustavy převládá časová konstanta nad dopravním zpožděním (normalizované dopravní zpoždění má menší hodnotu než 0,5), regulace s použitím nastavení Lambda má kratší průměrnou dobu ustálení. Začne-li však dopravní zpoždění převládat nad časovou konstantou soustavy (normalizované dopravní zpoždění má hodnotu větší než 0,5), uzavřený regulační obvod má delší průměrnou dobu ustálení než samotná regulovaná soustava. Pokusy s vyváženým nastavením ukazují, že však tato „opatrnost“ až do hodnoty normalizovaného dopravního zpoždění 0,8 vesměs není nutná.
 
Ještě poznamenejme, že derivační složka regulátoru dobu Tarc neovlivní. Jestliže se např. při použití metody vnitřního modelu (Internal Model Control – IMC,) získá pro soustavu s přenosem
 
rovnice 22
 
rovnice 23
 
TI = T1 + T2         (24)
 
rovnice 25
 
kde Tcl  je požadovaná časová konstanta uzavřeného regulačního obvodu, dostane se pro průměrnou dobu ustálení tohoto obvodu
 
Tarc = T0 + Tcl           (26)
 
Zde je pěkně vidět, že neminimální fáze má podobný účinek jako dopravní zpoždění. V případě obecné přenosové funkce regulátoru
 
C(s) = KC(1 + c1s + c2s2 + …)          (27)
 
se pro průměrnou dobu ustálení uzavřeného regulačního obvodu dostane
 
rovnice 28
 
což je v souladu s možnými urychlujícími účinky zpětné vazby. V případě soustavy prvního řádu bez dopravního zpoždění, tj. s přenosem K/(1 + T1s) a Tar = T1, a proporcionálního regulátoru s přenosem KC (c1 = 0) se dostane, že Tarc = T1/(1 + KKC). Snadno také lze např. ověřit, že pokud bude regulátor čistou inverzí obecné přenosové funkce soustavy, bude Tarc= 0.
 
Poznamenejme, že co se týče obecné přenosové funkce regulátoru, mnoho regulátorů obsahuje integrační složku k eliminaci trvalé regulační odchylky. Obecná přenosová funkce regulátoru v tomto případě je
 
rovnice 29
 
Pokud se použije tato přenosová funkce, dostane se pro průměrnou dobu ustálení uzavřeného regulačního obvodu
 
rovnice 30
 
Vztah (30) je obecný, použitelný k určení proporcionálního zesílení PI nebo PID regulátoru KP. Pokud se totiž např. vyjde z podmínky vyváženosti Tarc = Tar, snadno se odvodí vztah pro proporcionální zesílení PI regulátoru s vyváženým nastavením jako KP = TI/(KTar).
 

4. O rychlosti regulace

 
Již bylo zmíněno, že nepřevládá-li u regulované soustavy výrazně dopravní zpoždění, mělo by pro uzavřený regulační obvod obecně platit Tarc ≤ Tar. Naproti tomu je třeba při zvětšování rychlosti regulace zvážit, zda na to akční členy mají potřebnou sílu, rychlost a energii. Situace zde připomíná přesun člověka. Buď se lze přesouvat přirozeně chůzí, která člověku vyhovuje (tedy „vyváženě“), nebo je možné se přesunovat během. Sice to bude rychlejší, nicméně je třeba zvážit, zda a na jaký běh má člověk sílu. Podobně totiž i u regulačních obvodů platí, že čím rychleji budou regulovány, tím větší energii bude nutné použít a tím rychleji musí pracovat akční členy. Vedle toho, že akční členy musí být schopny vyvinout potřebnou sílu a rychlost, je při rychlejší regulaci také na místě uvažovat jejich rychlejší opotřebovávání (jsou-li např. mechanické).
 
Situaci bude dále ukázána na jednoduchém příkladu. V publikaci [4] na str. 185 je při použití polynomiálního přístupu navržen regulátor pro soustavu s přenosem
 
rovnice 31
 
Navržený regulátor má přenos
 
rovnice 32
 
Pro danou soustavu při použití kalkulu podle [1] se jednoduše spočítá, že Tar = 4/3 ≈ 1,3 s. S použitím již uvedeného kalkulu
podle (30) se dále spočítá, že
 
rovnice 33
 
Uzavřený regulační obvod je tedy přibližně šestapůlkrát rychlejší než samotná regulovaná soustava, což potvrzuje rychlejší ze skokových odezev na obr. 1. Druhá, pomalejší odezva byla získána při vyváženém nastavení s parametry PI regulátoru KP = 0,81 a TI = 1,08 s. Tato pomalejší odezva se téměř kryje s přechodovou odezvou soustavy.
 
Při pohledu na průběhy akční veličiny na obr. 2 (mají zvýrazněnou počáteční fázi volbou jemnějšího časového měřítka) je zřejmé, že k „rychlejší“ regulaci je nutný daleko větší akční zásah (včetně rychlosti jeho změn), než je tomu v případě vyváženého nastavení. Je otázkou, zda takový „mohutnější“ akční zásah je v praxi dosažitelný, popř. za jakou cenu. Proto by uvedená analýza rychlostí měla předcházet každému návrhu uzavřeného regulačního obvodu.
 
Obdobné výpočty jako již uvedený kalkul lze provést pro další regulační obvody, pro regulaci typu IMC založenou na použití vnitřního modelu M(s) soustavy G(s) s přenosy typu C(s)G(s)/{1 +C(s)[G(s) –M(s)]} apod., a to ke zjištění průměrné doby ustálení uzavřeného regulačního obvodu a jejího poměru k průměrné době ustálení modelu regulované soustavy. Jestliže není důvod regulační pochod zrychlit, je z pohledu regulace rozumným kompromisem držet se vyváženosti, tj. rovnosti obou průměrných dob ustálení a pohybování regulovanou soustavou, popř. procesem, jejich „přirozeným“ způsobem.
 

5. Závěr

 
V článku jsou popsány postup identifikace tříparametrových modelů (soustav prvního řádu) na základě jednoduchého kalkulu uzavřených regulačních obvodů a jednoduchý způsob, jak určit průměrné doby ustálení samotných tříparametrových modelů i celých uzavřených regulačních obvodů. Nebrání-li tomu jiné důvody, z pohledu požadavků na výkonnost a dobu provozního života akčních členů se pro praxi jako rozumný kompromis doporučuje držet se vyváženosti, tj. rovnosti obou průměrných dob ustálení.
 
Literatura:
[1] KLÁN, P.: Přehledný kalkul tříparametrových modelů. Automa, 2011, roč. 17, č. 8-9, s. 70–73.
[2] KLÁN, P. – GOREZ, R.: Process Control. FCC Public, Praha, 2011.
[3] GOREZ, R. – KLÁN, P.: Simple Models for Process Control. Konference Mathmod, Vídeň, 2009.
[4] GOODWIN, G. – GRAEBE, S. – SALGADO, M.: Control System Design. Prentice Hall, 2001.
 
Petr Klán,
Ústav informatiky AV ČR
 
Obr. 1. Přechodové odezvy na jednotkový skok žádané hodnoty při regulaci soustavy s přenosem podle (31) – viz text
Obr. 2. Průběhy akční veličiny příslušné odezvám na jednotkový skok žádané hodnoty znázorněným na obr. 1