Možnosti vyjádření přesnosti měření I: teoretický základ

Současný stav měřicí techniky dovoluje provádět fyzikální měření téměř každému. Větším problémem se stává schopnost naměřené údaje zpracovat, interpretovat a stanovit, s jakou přesností bylo měření vykonáno. K tomu je již nezbytné ovládat alespoň základy metodiky určování nejistot měření. První ze dvou spolu souvisejících článků má za úkol poskytnout právě tento teoretický základ. Druhý článek bude zaměřen na problémy, se kterými se lze setkat při použití popsaných postupů v praxi.

1. Úvod

Přesnost (tj. správnost a shodnost) celého měřicího procesu je souhrnem přesnosti měřicího zařízení, přesnosti měřicí metody a přesnosti operátora, který s měřidlem zachází. Je třeba zdůraznit všeobecný rys měření – měřicím zařízením a zvolenou metodou se na měřeném objektu určuje velikost (hodnota) jisté veličiny. Vlivem zpětného působení měřicího zařízení na měřený objekt se vždy mění poměry v měřeném objektu. To je hlavní důvod, proč nelze změřit pravou (skutečnou) hodnotu dané veličiny. Při každém reálném měření vznikají chyby. Na výsledky měření se tudíž musí nahlížet vždy jako na náhodné (přibližné) hodnoty a s jako takovými s nimi také pracovat.

V současné době se při hodnocení výsledků měření, popř. přesnosti měřicího procesu, používá vedle termínu „chyba měření“ při přesných měřeních a v metrologii termín „nejistota měření“. Již v roce 1992 publikovaly organizace ISO, IEC, OIML a BIPM v prvním vydání dokument Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), v současné době platí dokument z roku 2008. 

2. Nejistoty měření a jejich kategorie

Nejistota měření (výsledku měření) je takový nezáporný parametr, který charakterizuje rozptýlení hodnot přiřazených k měřené veličině na základě určité použité informace. Nejistota je udávána nejen u výsledku měření, ale i u parametrů měřidel apod. Nejistoty jsou uváděny při ověřování přístrojů, při kalibracích a jejich určování je metodicky ovlivněno tím, zda jde o:

• přímé měření jedné veličiny,
• nepřímé měření jedné veličiny,
• nepřímé měření více veličin.

Nejistota měření se obecně skládá z mnoha dílčích nejistot (složek). Základem určování nejistot je statistický přístup k hodnocení naměřených hodnot. Předpokládá se určité (např. normální) rozdělení pravděpodobnosti, které udává, jak se může naměřená hodnota odchylovat od skutečné (konvenční) hodnoty, popř. je uvedena pravděpodobnost, s jakou se skutečná hodnota měřené veličiny může nacházet v intervalu daném nejistotou. Mírou nejistoty je směrodatná odchylka.

Standardní nejistoty se dělí na:

• nejistoty určované způsobem A (u_A), jež jsou způsobeny z převážné části náhodnými chybami a procesy a určují se statistickou analýzou hodnot získaných měřením za přesně stanovených podmínek (krátce „nejistoty A“, „nejistota u_A“); uplatněn je výhradně matematicko-statistický přístup,
• nejistoty určované způsobem B (u_B) jsou způsobeny známými nebo odhadnutelnými příčinami a určovány postupy, které nejsou přímo stanoveny ve standardu („nejistoty B“, „nejistota u_B“); určovat správně a celistvě nejistoty B je proto poměrně obtížné a při nedodržení určitých pravidel hrozí nebezpečí subjektivity; u složitějších zařízení při větších požadavcích na přesnost je nutné provést podrobnou analýzu příčin vzniku chyb a na jejím základě určit nejistoty B; příčin vzniku těchto standardních nejistot je zpravidla několik, přičemž výsledná standardní nejistota u_B je dána jejich geometrickým součtem; k určení dílčích nejistot u_B se používá jen pravděpodobnostní přístup,
• souhrnný vliv náhodných i známých vlivů udává kombinovaná standardní nejistota (u_C), definovaná jako geometrický součet nejistot u_A a u_B.

3. Standardní nejistota u_A

Nejistota u_A se získá statistickým vyhodnocením řady naměřených hodnot x_izískaných opakovaným měřením. Je-li n nezávislých měření provedeno za stejných podmínek, je odhad výsledné hodnoty prezentován hodnotou výběrového aritmetického průměru x–.

Základem k určování nejistot A jsou po­jmy základní soubor, výběrový soubor, rozptyl a směrodatná odchylka (odmocnina z rozptylu). Základní soubor (nebo také základní populace) je množina všech teoreticky možných hodnot měřené veličiny v uvažované situaci. Podmnožinou základního souboru je náhodný výběr ze základního souboru (nebo také výběr, vzorek), využívaný proto, že obvykle nelze z časových, finančních nebo i jiných důvodů určit všechny prvky základního souboru. Matematický aparát k určení nejistot A je shrnut v následujících vzorcích (1) až (7).

Pro variabilitu základního souboru platí 

vzorec                                                      (1) 

vzorec                                                      (2) 

kde

N je počet prvků základního souboru,

X_i hodnota i-tého prvku základního souboru,

X–aritmetický průměr hodnot prvků základního souboru,

σ_Xi    směrodatná odchylka,

σ_Xi    rozptyl základního souboru.

Pro stanovení variability náhodného výběru platí obdobně 

vzorec                                                      (3) 

vzorec                                                      (4)  

vzorec                                                      (5) 

kde

n je počet naměřených hodnot vstupujících do výpočtu,

x_ii-tá naměřená hodnota,

x–    aritmetický průměr výběru ze základního souboru (výběrový),

s²_xi  rozptyl výběrového souboru (výběrový rozptyl),

s_xi   směrodatná odchylka výběrového souboru (výběrová),

s_x–    směrodatná odchylka výběrového aritmetického průměru.

Hledaná standardní nejistota A daného měření značená u_Ax se rovná směrodatné odchylce výběrových průměrů, tedy

vzorec                                                    (6) 

Výsledný vzorec (6) platí za předpokladu, že byl proveden dostatečný počet měření (n ≥ 10). V opačném případě a není-li možné udělat jiný kvalifikovaný odhad, je nutné použít součinitel k_s, jehož hodnota závisí na počtu měření použitých k výpočtu (viz tab. 1), a platí 

vzorec                                                      (7) 

Při malém počtu opakování není patrné, jak blízké jsou naměřené výsledky skutečné hodnotě, a proto tento koeficient zvětšuje hodnotu nejistoty A. 

Tab. 1. Závislost koeficientu k_s na počtu měření n

Pro řadu opakovaných měření s jinými než uvedenými vlastnostmi se nejistota A počítá podle jiných než zde uvedených vztahů. V takových případech je třeba konzultovat celou situaci se statistikem. 

4. Standardní nejistota u_B

Hodnocení standardní nejistoty B je namísto na statistickém přístupu založeno na přístupu pravděpodobnostním. Analýza vy­užívá všechny dostupné informace o měřicím řetězci, metodě i ostatních vlivech, které mohou ovlivňovat výsledky měření. Základem určování nejistot B je zjišťování dílčích nejistot u_BZj jako příspěvků z dílčích zdrojů Z_j.

Nejistoty B jsou způsobeny nedokonalostmi apod.:

• měřicích prostředků (etalony, použité přístroje a jejich příslušenství): vlivy nejistoty kalibrací, nestability a dynamických chyb měřicích přístrojů, vnitřního tření u analogových přístrojů, rozlišitelnosti odečtu přístrojů, hystereze, specifikace výměnných částí přístrojů atd.,
• použitých metod měření s jejich průvodními jevy, jako jsou např. svodové proudy, interakce s měřeným objektem, ovlivnění vlivy reálných parametrů součástek odvodem nebo přestupem tepla atd.,
• nestálostí místních podmínek při měření (vlivy elektrického a magnetického pole, relativní vlhkosti, tlaku a teploty okolí apod.),
• vlivy operátora (jeho osobní zvyklosti, vliv tepelného vyzařování těla atd.),
• dalšími možnými vlivy (vliv polohy přístroje, denní doby, ročních období atd.),
• nedokonalostí vztahů, konstant nebo závislostí, které jsou použity při určování výsledků měření.
• Obecně se při určování nejistot u_BZj doporučuje postupovat takto:
• odhadnout maximální rozsah možných odchylek ± Δz_jmax veličiny příslušející zdroji Z_j od její jmenovité hodnoty (tak, aby pravděpodobnost jejich překročení pro každý jednotlivý zdroj byla co nejmenší),
• posoudit průběh hustoty pravděpodobnosti této změny (odchylky) v intervalu a najít jeho nejvhodnější aproximace (typ rozdělení),
• určit dílčí standardní nejistotu typu B z maximální možné změny daného zdroje Δz_jmax při použití vztahu

vzorec                                                      (8) 

kdeχ_j je koeficient příslušného typu rozdělení (tab. 2).

Uvedený postup skrývá v praxi mnoho problémů, kterými se bude zabývat navazující článek.

Rovnoměrné rozdělení se použije v případech, kdy se kterákoliv odchylka od jmenovité hodnoty veličiny může vyskytovat se stejnou pravděpodobností. Tato aproximace je v praxi nejčastější.

Aproximace normálním nebo trojúhelníkovým rozdělením se použije, jestliže se častěji vyskytují malé odchylky od jmenovité hodnoty veličiny a s rostoucí velikostí odchylek klesá pravděpodobnost jejich výskytu.

Bimodální rozdělení se použije např. u měřicích přístrojů výrobcem zařazených do urči­tých tříd přesnosti (ve střední třídě nejsou zařazeny přístroje s malými nebo naopak velkými chybami). 

5. Slučování dílčích nejistot u_BZj

Sečte-li se několik nejistot B s rovnoměrným rozdělením odchylek, v souladu s centrální limitní větou má výsledná nejistota B rozdělení normální. Důsledkem pro praxi je, že ve většině reálných případů, kde při měření působí různý počet vlivů s různými velikostmi chyby a typy rozdělení pravděpodobnosti, je pravděpodobnost rozdělení výsledné nejistoty normální.

Odhadnuté nejistoty u_BZj od jednotlivých zdrojů ovlivnění Z_j se přenášejí do celkové standardní nejistoty B měřené veličiny x (u_Bx) a tvoří její složky u_BxZj. Pocházejí-li zdroje od jedné ovlivňující veličiny, i jednotlivé nejistoty mají stejné jednotky a lze je sloučit v u_Bx s použitím vztahu 

vzorec                                                 (9) 

Jestliže jsou zdroje Z_j dílčích nejistot B odlišné fyzikální jevy, které mají různé charakteristické veličiny (i různé jednotky) – což je v praxi častější případ, je nutné po­užít přepočet 

u_BxZj = c_xZju_BZj                                      (10) 

při použití koeficientů citlivosti c_xZj, které obecně nejsou bezrozměrné a stanovují se s použitím vztahu 

vzorec                                                    (11) 

kde z_j = [z_j1, z_j2, …, z_jm] jsou aktuální hodnoty ovlivňující veličiny Z_j.

Jestliže závislost x = f(Z_j) není známa, stanoví se c_xZj experimentálně změřením hodnoty Δx_Zjpři malé změně Δz_j a původní vztah (11) lze přepsat na 

vzorec                                                    (12) 

Standardní nejistota B se poté určí jako geometrický součet nezávislých dílčích nejistot B s uplatněním vypočtených koefi­cientů citlivosti 

vzorec                                                    (13) 

Existuje-li korelace mezi některými zdroji nejistot (např. Z _j a Z_k), celková standardní nejistota B se určí způsobem 

vzorec                                                   (14) 

kde r_xj,xk určuje korelaci mezi zdroji nejistot Z_j a Z_k.

Postup zjišťování nebo odhadování korelací je v praxi velmi složitý. Proto je častá snaha korelace zanedbávat, což může vést k chybným výsledkům.

6. Kombinovaná standardní nejistota u_C

Kombinovaná standardní nejistota u_Cx určení veličiny x je dána geometrickým součtem standardní nejistoty A a standardní nejistoty B 

vzorec                                                    (15) 

Při normálním rozdělení N_n (μ, σ²) hustoty pravděpodobnosti f(x) měřené veličiny za specifických podmínek udává kombinovaná standardní nejistota u_Cx interval, ve kterém se vyskytuje pravá hodnota měřené veličiny s pravděpodobností P = 68,27 %. 

7. Rozšířená nejistota U

Rozšířená nejistota se zavádí, jestliže je požadována větší pravděpodobnost P výskytu skutečné hodnoty, než jakou skýtá standardní kombinovaná nejistota u_C (viz kap. 6), a to podle vztahu 

U = k  u_Cx                                                                       (16) 

kde k je činitel rozšíření [3] platný pro normální rozdělení hustoty pravděpodobnosti (tab. 3).

Již dlouhodobě platí dohoda, že se přednostně používá hodnota k = 2, tzn. že skutečná hodnota se nachází v daném intervalu s pravděpodobností P = 95 % (tzv. konfidenční úroveň).

Rozšířená nejistota se používá pouze při udávání výsledku měření v protokolu o měření. Společně s ní musí být uvedena po­užitá hodnota činitele k nebo interval s danou konfidenční úrovní, vyjádřenou v procentech. Důvod je zjevný: kdyby nebyla tato hodnota uvedena, mohlo by se snadno stát, že budou vzájemně porovnávány nejistoty s různými pravděpodobnostmi pokrytí, což je hrubá chyba.

8. Meze vypovídacích schopností nejistoty měření

I když v článku (byť stručně a zjednodušeně) popsaná teorie může vypadat složitě, v navazujícím článku bude na konkrétní úloze předvedeno, že základní stanovení nejistot není ničím nezvládnutelným. Zásadní z tohoto hlediska je, o jakou konkrétní měřicí úlohu jde.

Lze se setkat s jednoduchým měřením s minimem ovlivňujících faktorů, kdy je určení nejistot triviální. Častější jsou případy, kde existuje mnoho vlivů, které svým působením postup určení nejistot komplikují. Při dodržování určitých zásad lze většinou dosáhnout toho, aby stanovená nejistota skutečně odpovídala reáliím měření a nestala se jen pouhým „vysněným“ číslem.

Lze se ovšem také setkat s konkrétními případy, kdy nelze splnit požadavky nutné ke stanovení nejistoty měření. Například v případech, kdy:

•  měřicí řetězec zahrnuje široké spektrum různých zařízení a výrobků,
•  požadavky na rozsah a skladbu měření se stále mění,
•  měření mají specifický (dynamický) charakter, který silně závisí na prostředí.

Nejistota měření umožňuje rychle porovnat výsledky měření co do jejich přesnosti, není však schopna poskytnout vyčerpávající informaci o měření. K tomu jsou využívány další postupy analýzy měřicího procesu zahrnující i optimalizaci strategie měření a měřicího procesu, vhodný metodický postup, vlastnosti a úpravu měřeného objektu atd. Tím se postoupí k dalším významným parametrům popisujícím proces měření, jimiž jsou zejména:

• přesnost (accuracy) jako ukazatel těsnosti shody mezi výsledky po sobě následujících měření téže měřené veličiny provedených za stejných podmínek,
• správnost (trueness) jako ukazatel těsnosti shody mezi průměrnou hodnotou získanou z řady měření a přijatou referenční hodnotou,
• shodnost (precision), což je těsnost shody mezi nezávislými výsledky zkoušek, které byly získány za předem specifikovaných podmínek,
• opakovatelnost (repeatability) jako ukazatel těsnosti shody mezi výsledky při stejném postupu měření provedeném stejným pozorovatelem při použití stejného měřicího přístroje za stejných podmínek a ve stejném místě měření a opakování měření v průběhu krátkého časového intervalu (je extrémním případem shodnosti; popisuje nejmenší dosažitelnou variabilitu výsledků měření),
• reprodukovatelnost (reproducibility), což je těsnost shody mezi výsledky měření téže veličiny provedených za změněných podmínek měření (je extrémním případem shodnosti; popisuje největší variabilitu výsledků)
• postupy analýzy systémů měření (Measurement Systems Analysis – MSA) spočívající v kontrole střední hodnoty, rozptylu, linea­rity, strannosti, opakovatelnosti a reprodukovatelnosti a stanovení způsobilosti měřicích přístrojů (stanovení ukazatelů způsobilosti C_g a C_gk).

Z uvedeného výčtu je patrné, že ke korektnímu měření rozhodně nestačí připojit přístroj k měřenému objektu, odečíst údaje a určit nejistoty. 

9. Závěr

Přenést popsané postupy určování nejistot měření efektivně do měřicí praxe mnohdy není jednoduché a k úspěchu jsou třeba poměrně komplexní znalosti. Snad i proto je na nejistoty mnohdy pohlíženo jako na cosi zbytečně komplikovaného, v praxi nepoužitelného nebo nadbytečného. Je-li však třeba měřit a vyrábět přesně, nelze problematiku nejistot přehlížet. Postup zjišťování nejistot může prozradit mnohé o slabých stránkách měřicího procesu, kvalitě měření nebo kvalitě výrobku. O jedné z úspěšných úloh využití nejistot v měřicí praxi bude pojednáno v navazujícím článku [7]. 

Literatura:

[1] TŮMOVÁ, O.: Metrologie a hodnocení procesů. BEN, Praha, 2009.

[2] TŮMOVÁ, O. – PANC, T.: Vyhodnocení nejistot měřicího řetězce pro zjišťování relativního chvění rotoru. Dílčí výzkumná zpráva FEL ZČU/Profess Plzeň, 2012.

[3] Pokyn pro vyjadřování nejistoty měření (GUM). ÚNMZ, 2012.

[4] ČSN P ENV 13005 Pokyn pro vyjádření nejistoty měření.

[5] TNI 01 4109-1 Nejistoty měření – Úvod k vyjadřování nejistot měření.

[6] TNI 01 4109-3 Nejistoty měření – Pokyn pro vyjádření nejistoty měření.

[7] TŮMOVÁ, O. – PANC, T.: Možnosti vyjádření přesnosti měření II: použití v praxi. Automa, 2013, roč. 19, v tisku.

doc. Ing. Olga Tůmová, CSc.(tumova@ket.zcu.cz), Ing. Tomáš Panc

(panct@ket.zcu.cz), katedra technologií a měření, Fakulta elektrotechnická, Západočeská univerzita v Plzni

Tab. 1. Závislost koeficientu k_s na počtu měření n