Aktuální vydání

celé číslo

08

2021

Digitální transformace a konvergence provozních, informačních a inženýrských systémů

Výzkum, vývoj a vzdělávání v automatizaci

celé číslo

Možnosti vyjádření přesnosti měření II: použití v praxi

Současný stav měřicí techniky dovoluje provádět fyzikální měření téměř každému. Omezení v tomto směru představuje schopnost naměřené údaje vyhodnotit, interpretovat a stanovit přesnost, s jakou bylo měření vykonáno. Článek navazuje na předchozí teoretické seznámení s problematikou [9] za účelem připomenout nejčastěji se vyskytující problémy při výpočtu nejistot měření. Pro větší názornost je uveden příklad použití standardního postupu k určení nejistot v měřicí praxi.

1. Úvod

V předchozím článku [9] jsou stručně uvedeny nezbytné teoretické základy metod určování přesnosti měření. Jak známo, samotná teorie zpravidla nestačí. Cesta od teorie k praxi je mnohdy složitá, což platí i v případě nejistot měření. Důvodem je především univerzálnost celé metodiky, která se neomezuje na konkrétní oblast měření, přístrojové vybavení, postupy a metody. Každá měřicí úloha se hodnotí v menší či větší míře individuálně a není tedy možné vytvořit jednotný manuál, podle kterého by stačilo postupovat krok za krokem až k dosažení cíle. Pro často se opakující problémy sice existují normativní doporučení i s konkrétními hodnotami velikostí rušivých vlivů, ale ty lze použít jen pro malou část měřicích úloh. V ostatních případech závisí správnost celého postupu a výsledků analýzy nejistot především na schopnostech, zkušenostech a informovanosti hodnotící osoby. Subjektivita je tak nevyhnutelná. Při dodržení dobrých zvyklostí a znalosti rizik spojených s jednotlivými kroky určování nejistot měření lze však subjektivní vlivy udržet v přijatelných mezích. V opačném případě se může stát, že číslo vyjadřující nejistotu nebude ani v nejmenším odpovídat realitě daného měření.

Jak bylo uvedeno, nelze vytvořit univerzálně použitelný návod, jak při výpočtu nejistot postupovat. Přesto lze na poměrně jednoduché měřicí úloze předvést způsob použití daného teoretického aparátu a současně upozornit na hlavní úskalí a časté problémy. Jako demonstrační je v článku popsán postup urče­ní nejistoty při řešení úlohy kalibrace bezdotykového snímače posunutí. 

2. Obecné zásady

Dále je ukázáno, že určení nejistot v praxi není úplně snadná záležitost. V jednotlivých krocích postupu jsou využívány různé metody zjišťování potřebných vstupních údajů. Většinou je přitom nutné volit mezi jednoduchostí (časovou náročností, cenou) a přesností získávaných údajů. Vždy je třeba určit hranici zjednodušení, kterou je možné akceptovat. Je třeba počítat s tím, že zjednodušení nevyhnutelně vede ke zkreslení výsledků a jejich větší subjektivitě. Obecně platí, že nejpřesnější vstupní podklady lze získat měřením žádaného parametru (často dlouhodobým). Takové dílčí měření je vždy primární metoda, zpravidla ovšem časově a finančně velice náročná, a pro běžné úlohy tudíž zřídka používaná.

Mnohem častější je užití údajů z katalogových listů, dokumentů od výrobce, norem, odborné literatury apod. Takové údaje se opírají o naměřené hodnoty, jen je třeba bedlivě sledovat, zda podmínky, pro které je daný údaj uváděn, se shodují s reáliemi právě řešené úlohy.

Až na posledním místě by měl být po­užíván kvalifikovaný odhad. Odhad nekvalifikovaný, tedy prováděný neodborníkem nebo odborníkem bez zkušeností s daným problémem, by měl být rovnou zavrhnut, neboť neposkytuje směrodatné informace. Protože kvalifikovaný odhad je zpravidla subjektivní, měl by být používán skutečně až jako poslední možnost. Skutečnost je nicméně často opačná a metoda odhadu je nadužívána, čímž je celý systém určování nejistot degradován. 

3. Určování nejistot způsobem A

Postup určování nejistot způsobem A je používán ke kvantifikaci vlivů, u kterých nelze vystopovat přesný zdroj anebo které se projevují náhodně. Vychází z čistě matematicko-statistického přístupu. Základní vztah je [9] 

vzorec                                                        (1) 

kde

ks je opravný součinitel závislý na počtu n,

n počet naměřených hodnot vstupujících do výpočtu,

uAx  standardní nejistota určená způsobem A (nejistota A),

xii-tá naměřená hodnota,

xaritmetický průměr souboru naměřených hodnot.

K určení nejistoty A je nutné provést opakované měření. V případech, kdy měření nelze opakovat (např. destruktivní zkoušky), není možné nejistotu A určit. Ve většině případů lze měřit opakovaně. Aby výsledná nejistota přiměřeně reflektovala realitu, je třeba vykonat dostatečný počet měření n (alespoň deset). Při menší hodnotě n až velmi prudce roste hodnota součinitele kS. Větší počet opakování měření sice poskytuje reálný obraz situace, ale často neúměrně prodlužuje či prodražuje měření.

Aby výsledná nejistota byla dostatečně vypovídající, je třeba opakovaná měření provádět za tzv. shodných podmínek. Lze říci, že v izolované soustavě při dosažení naprosto shodných podmínek by nejistota A byla rovna nule. Tento stav je však jen teoretické zjednodušení, v praxi nelze zcela shodných podmínek z principu nikdy dosáhnout.

Naopak, za (ne)příznivých podmínek se může do výsledku výrazně promítnout i jen minimální odlišnost (jde o projev tzv. motýlího efektu). Možnost zásadního ovlivnění měření takovým jevem je minimalizována opakováním měření, neboť platí, že pravděpodobnost výskytu výrazných odchylek je menší než pravděpodobnost výskytu odchylek malých (zákon velkých čísel). Lze tedy oprávněně předpokládat, že nejblíže ke skutečné hodnotě se lze dostat výpočtem aritmetického průměru naměřených hodnot a že rozdělení pravděpodobnosti četnosti výskytů jednotlivých hodnot bude odpovídat normálnímu (Gaussovu) rozdělení.

Vraťme se však k problému jinak shodných podmínek. V praxi vede ke snaze minimalizovat kolísání vlivů (veličin), o nichž je známo, že ovlivňují výsledky při opakovaných měřeních. Čím větší účinek má konkrétní veličina, tím více je třeba dbát na její stabilitu.

Objasněme problém shodných podmínek na příkladu kalibrací senzorů teploty. Opakované měření za shodných podmínek zde spočívá v opakovaném měření v prostředí s řízenou teplotou (kalibrátory, kalibrační pece). K dostatečně přesnému určení nejistoty A je třeba provést v tomtéž teplotním bodě alespoň deset měření. Nejvýznamnější vliv má stabilita teploty v pracovním prostoru kalibrátoru. Jestliže by např. byla teplota udržována nevhodným termostatem s velkou hysterezí, mohlo by se docela snadno stát, že během snímání potřebných deseti hodnot by se teplota v kalibrátoru měnila i v řádu stupňů. To lze jen těžko považovat za shodné podmínky. Takové pochybení by mělo za následek obrovskou hodnotu nejistoty A, což by jasně poukazovalo na pochybení v metodice měření.

Popisovaný vliv změny teploty je očividný a je na první pohled patrné, že je třeba teplotu pečlivě stabilizovat. Existuje však množství méně patrných, ale neméně důležitých vlivů – měřicí proud, rychlost proudění látky kolem senzoru apod. Je jasné, že aby bylo možné udržovat stabilní podmínky, je nutné vědět, co a jakou měrou je ovlivňuje. Vybrané vlivy, které působí nejcitelněji, dále stabilizovat, a není-li to možné, zahrnout je do nejistot urče­ných způsobem B. Samotnému měření by tedy měla předcházet příprava, během které je provedena alespoň základní analýza nejistot zjišťovaných způsobem B a v jejím rámci jsou identifikovány vlivy důležité z hlediska udržení shody prostředí. 

4. Určování nejistot způsobem B

4.1 Princip dílčích nejistot uBZj

Všechny metody a postupy určující nejistoty měření bez použití statistických nástrojů jsou označovány jako metody B. Jde o postupy nesmírně důležité, jelikož mohou mít vliv i na postupy určování nejistot metodami matematické statistiky. Právě z důvodu stanovení podmínek pro opakovaná měření a také pro výběr vhodných metod a vybavení by rozvaha nad nejistotami určovanými způsobem B měla být provedena ještě před samotným započetím měření.

Způsob určování nejistot metodou B je mnohem komplikovanější a náchylnější k subjektivitě, než je tomu u metody A. Normami je dán matematický vztah k určení dílčí složky nejistoty B vlivem individuálního zdro­je Zj ve tvaru 

vzorec                                                        (2) 

kde

uBZj je dílčí nejistota vlivem ovlivňující veličiny (vlivu) Zj,

Δzjmax  maximální změna veličiny příslušející vlivu Zj,

χj
směrodatná odchylka pravděpodobnostního rozdělení souboru hodnot Δzj příslušných vlivu Zj.

Určení zdrojů, jejich vlivů i potřebných hodnot k dosazení do (2) je již zcela na hodnotiteli. Při této činnosti je třeba postupovat systematicky v těchto hlavních krocích:

  • identifikace vlivů,
  • určení rozdělení pravděpodobnosti vlivů a koeficientů citlivosti,
  • určení korelací mezi vlivy,
  • zohlednění dynamiky koeficientů,

které budou dále podrobněji rozebrány. 

4.2 Identifikace vlivů

Jednoznačně prioritním krokem je identifikace vlivů. Z takřka nespočetné množiny vlivů působících na proces měření je třeba vybrat vlivy pro daný případ relevantní, tj. takové vlivy, které svou změnou způsobí pozorovatelnou (rozlišitelnou) změnu měřené hodnoty. Ostatní vlivy není třeba uvažovat, nanejvýš se mohou projevit jako součást nejistoty A. Ve snaze ušetřit čas a prostředky jsou ovšem v praxi často zanedbávány i takové vlivy, které svou změnou mají dopad na výsledek měření. Tento postup je korektní v případě, že velikost ovlivnění je obecně zanedbatelná – ovlivňující veličina se mění málo, její působení na výsledek je v řádu promile apod.

Otázkou je, jak ve fázi identifikace vlivů zjistit míru jejich působení na výsledek měření. Nejspolehlivější je stanovit velikosti chyb způsobených dílčími vlivy na základě znalosti modelu měřeného systému. Jde ovšem o zdlouhavý postup a model systému a patřičné výpočetní vztahy navíc nemusí být vůbec známy. Proto se ve většině případů používá jen kvalifikovaný odhad. Na základě zkušeností, znalosti problematiky a dostatku informací odborník roztřídí vlivy na jednoznačně zanedbatelné, jednoznačně nezanedbatelné a takové, u kterých není vliv na první pohled zřejmý. U této třetí skupiny je nezbytné provést podrobnější šetření a závěry opřít o doplňující výpočty nebo měření. Krok identifikace má v celém procesu určování nejistot nesmírnou důležitost. Který vliv a jakou měrou působí, nelze fundovaně říci bez důkladné znalosti problematiky. Zanedbání nebo opomenutí nějakého význačného vlivu může způsobit, že určená nejistota bude zcela nerelevantní. Naproti tomu však uvažování přílišného počtu zcela minoritních vlivů prodlužuje a komplikuje postup výpočtů a prodražuje měření.

Dále se již při identifikaci pracuje pouze s vybranými vlivy, u nichž je třeba numericky určit hodnoty potřebné pro výpočet po­dle vztahu (3). Prvek Δzjmax je mez inter­valu, v němž kolísají hodnoty sledovaného vlivu. Jde o údaj, který je často možné vyhledat v katalogových listech a informacích od výrobců. Typickým případem, kdy lze takto potřebnou hodnotu získat, je hledání parametrů měřicích přístrojů. Avšak není vždycky možné dohledat vše v dokumentaci.

V souvislosti s nejistotami určovanými způsobem B se lze často setkat s vlivy provozního prostředí (teplota, vlhkost, záření, rušivá pole) a vlivy obsluhy (zvyklosti, pozornost). Určit meze těchto vlivů je již složitější. Hlavní zásadou by měla být snaha o co nejvěrnější odraz reality dané měřicí úlohy. Je-li např. ovlivňujícím faktorem teplota okolního prostředí a je známo, že měření bude probíhat v temperované laboratoři, lze říci, že se teplota bude pohybovat mezi asi 20 až 26 °C (Δzjmax = 3 K). Může-li dané měření probíhat i v běžných venkovních podmínkách, vzroste uvažovaný interval na –15 až 40 °C (Δzjmax = 27,5 K). Je patrné, že informace o prostředí zde má zásadní vliv. Při uvážení „nejhorší“ možnosti bude určená nejistota zbytečně velká, při přehnaně optimistické úvaze bude nereálně malá. V obou případech jde o chybu, neboť výsledek neodpovídá popisované skutečnosti. I zde je značný prostor pro subjektivitu hodnocení.

4.3 Rozdělení pravděpodobnosti vlivů a koeficienty citlivosti

Vedle hodnoty Δzjmax je dalším potřebným údajem informace o typu rozdělení pravděpodobnosti (průběhu četnosti výskytu hodnot ovlivňující veličiny v daném intervalu ±Δzjmax), podle kterého je vybírán příslušný koeficient χj. Určit tento údaj přesně pro individuální situaci dané měřicí úlohy je velmi obtížné. K tomu by bylo nutné dlouhodobě sledovat daný vliv v prostředí, ve kterém je měření prováděno, a následně zjištěné skutečnosti analyzovat při použití statistických metod. Jde o postup mimořádně časově náročný, a proto se s ním nelze v praxi mnohdy setkat. Takřka výhradně se používají jiné metody, často založených na odhadech a podobnosti. Poměrně spolehlivě lze typ rozdělení pravděpodobnosti určit na základě obdobných případů. Určité chyby se hojně opakují a ani jejich pravděpodobnostní rozdělení se pro různá měření příliš nemění. Je např. vysledováno, že chyby vlivem hystereze mají rozdělení bimodální (Diracovo), chyby běžných měřicích přístrojů rovnoměrné, mnoho neregulovaných přírodních jevů normální atd. Na základě podobnosti tak lze konkrétnímu případu přiřadit odpovídající rozdělení.

Nejvěrohodnější údaje lze získat dlouhodobým sledováním daných parametrů v tom prostředí, kde je měření uskutečňováno. Problémem je zde opět mimořádná časová a také finanční náročnost.

Po určení mezí intervalu a typu rozdělení pravděpodobnosti je již k dispozici dostatek údajů pro výpočet dílčí nejistoty B způsobené daným vlivem. Často tato nejistota nemá přímou vazbu na měřený údaj, a dokonce ani nemá shodný rozměr. Její vliv je proto třeba přepočítat na měřený údaj, a to při použití koeficientu citlivosti cxZj stanoveného experimentálně jako míra změny měřené veličiny ΔxZjv důsledku malé změny zkoumaného vlivu Δzj podle vztahu 

vzorec                                                        (3) 

Nejsou-li potřebné údaje dostupné z katalogových listů, je nutné je zjistit cíleným měřením. Teprve když takové měření nelze provést, stanovuje se koeficient citlivosti kvalifikovaným odhadem. Typickým příkladem této situace může být vliv stárnutí – vypovídající dlouhodobé zkoušky jsou drahé, trvají dlouho a není jednoduché je správně vyhodnocovat. Jestliže odpovídající drift není obsažen v údajích od výrobce, nezbývá než odhad.

Po započtení koeficientu citlivosti je již k dispozici informace o tom, jak se reálná změna sledovaného vlivu může projevit na výsledku měření. Stejný postup je třeba opakovat pro veškeré vlivy, které prošly identifikačním procesem. Celková nejistota uBx se určí jako geometrický součet dílčích nejistot uBZj korigovaných použitím koeficientů citlivosti 

vzorec                                                        (4) 

4.4 Korelace mezi vlivy

Značnou komplikací je případná existence korelací mezi jednotlivými vlivy. Potom se vztah pro výpočet uBx stává komplexnějším                                                                       

vzorec                                                    (5) 

kde výběrový korelační koeficient rxj,xk určuje korelaci mezi vlivy ZjZk.

Problémem v praxi, zvláště u složitějších měřicích úloh, je už samotné nalezení korelujících vlivů. Ještě náročnějším úkolem je poté určit hodnoty výběrových korelačních koeficientů rxj,xk. K tomu se používají statistické metody analýzy naměřených údajů. Jednak nejde ze své podstaty o jednoduchý úkol, ale především je třeba mít k dispozici poměrně velké množství naměřených údajů. Tím se opět objevuje požadavek dlouhodobějšího sledování všech vlivů, které prošly identifikací. Jestliže z jakéhokoliv důvodu nelze provést uvedenou rozsáhlou analýzu experimentálních údajů, nezbývá než použít kvalifikovaný odhad. Má-li být odhad korektní, vyžaduje odborníka s mnoha zkušenostmi v dané oblasti, neboť jen ten je schopen dostatečně kvalitně odhadnout vzájemné vazby mezi jednotlivými vlivy. Z důvodu náročnosti stanovení korelací bývají v praxi velmi často veškeré vzájemné vazby bez jakékoliv hlubší úvahy zanedbávány. V jednodušších případech tak zpravidla nepůjde o chybu, ale u složitějších měření může být vliv korelací na výslednou nejistotu až překvapivě velký. Z toho plyne, že při určování nejistot ve složitějších případech nelze analýzu korelací vynechat. Jde ovšem o problematiku povahou a rozsahem překračující rámec tohoto článku. Případné zájemce lze odkázat např. na [8]. 

4.5 Proměnné koeficienty

Další komplikace může nastat, není-li koeficient citlivosti nebo korelační koeficient konstantní – může být funkcí měřené veličiny, některého z vlivů nebo některého vnitřního stavu měřeného systému. Určit nejistotu u takového měření je již skutečná výzva. Ta je však v praxi ojedinělá, a proto jí zde nebude věnován prostor. Koeficienty sice poměrně často nejsou konstantní, nicméně jejich změny jsou za uvažovaných podmínek tak malé, že aproximace konstantou nemá patrný dopad na výslednou nejistotu. 

5. Kombinovaná a rozšířená nejistota

V [9] již bylo uvedeno, že kombinovaná standardní nejistota je geometrickým součtem nejistot zjišťovaných způsobem A a způsobem B. Jde-li o přímé měření jedné veličiny, je takto určená nejistota cíleným údajem. Jde-li o nepřímé měření, kde výsledek w je funkcí několika měřených nezávislých složek, je nutné při výpočtu celkové nejistoty uCw užít zákonitosti šíření chyb ve vzorcích. V obecné podobě, při omezení se na pouhé dvě složky, x a y, tj. w = f(x, y), tedy 

vzorec                                                        (6) 

kde

uCw je celková nejistota určení agregované veličiny w,

uCx, uCy  kombinovaná standardní nejistota naměřené hodnoty veličiny x, popř. y.

Pro běžné matematické operace lze (6) upravit do snáze použitelné podoby (viz [7]). Stejně je třeba postupovat i v případech, kdy se k výsledku měření dojde až zpracováním měřeného údaje s použitím algoritmů, do nichž vstupují i jiné údaje s nenulovou nejistotou.

Rozšířená nejistota se získá vynásobením kombinované nejistoty činitelem rozšíření k [9]. Volba jiné než nejčastěji užívané hodnoty k = 2 musí mít vždy důvod a u výsledku je třeba bezpodmínečně a dostatečně zřetelně uvést, jaká hodnota k byla použita. Jestliže je pravděpodobnostní rozdělení kombinované nejistoty normální, musí výběr hodnoty k ≠ 2 souviset s požadavky danými odběratelem výsledků měření. Příkladem může být požadována menší možnost překročení udávaných hodnot z bezpečnostních důvodů, potom je k > 2. Jiná je situace v případě, kdy určená kombinovaná nejistota nemá normální rozdělení hustoty pravděpodobnosti. Potom musí být volen jiný činitel rozšíření, odpovídající jejímu rozdělení pravděpodobnosti tak, aby konfidenční úroveň rozšířené nejistoty měla hodnotu P ≥ 95 % (což odpovídá k = 2 při normálním rozdělení pravděpodobnosti).

Z hlediska volby hodnoty činitele rozšíření je tedy třeba pouze pátrat po tom, zda kombinovaná nejistota má normální rozdělení hustoty pravděpodobnosti. U většiny úloh v praxi tomu tak je, jelikož nejistoty B mají obecně různá rozdělení a meze. Jejich geometrickým sečtením se tak v souladu s centrálně limitní větou získává normální rozdělení výsledku. Jiná situace nastává především ve dvou případech:

a)  kombinovaná nejistota je tvořena pouze jedním vlivem, popř. několika vlivy, z nichž jeden je výrazně dominantní: tehdy je bráno v potaz rozdělení dominantního vlivu; při skutečně jen malém počtu uvažovaných vlivů (dva až tři) není výsledkem jejich spolupůsobení normální, ale lichoběžníkové rozdělení,

b)  typ rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých vlivů je shodný a jejich intervaly se liší jen minimálně: tehdy typ rozdělení výsledku přibližně odpovídá typu rozdělení dílčích vlivů.

Uvedené případy se nevyskytují příliš často. Když nastanou, je třeba konkrétní typ a parametry rozdělení pravděpodobnosti určit v souladu se zákony statistiky [8].

Rozšířená nejistota se uvádí spolu s výsledkem měření a hodnotou koeficientu rozšíření při dodržení dvou hlavních pravidel – hodnota nejistoty se vždy zaokrouhluje směrem nahoru a nemá být uváděna s větším rozlišením než hodnota výsledku měření. 

6. Modelový příklad

6.1 Popis úlohy

Kalibrovaný měřicí řetězec (snímač) k měření polohy je součástí systému pro sledování relativního chvění rotoru velkého strojního zařízení. Skládá se z čidla vzdálenosti, pracujícího na principu vířivých proudů, PR6426 a externího konvertoru CON041, obojí od firmy Epro GmbH. Měření za účelem určit nejis­totu tohoto snímače probíhalo na simulátoru posunutí s terčem o průměru 80 mm vyrobeném z oceli z Cr42Mo4. Uspořádání při experimentu schematicky znázorňuje obr. 1. Měření bylo prováděno celkem pro devět poloh (hodnot posunutí, při absolutní vzdálenost od hrany čidla 1 až 9 mm s krokem 1 mm). Aby bylo možné dostatečně přesně určit nejistotu A, bylo měření v každé poloze (vzdálenosti) opakováno desetkrát. K nastavování vzdálenosti byl použit mikrometr Mitutoyo 350, výstup ze snímače posunutí byl měřen číslicovým voltmetrem Fluke 867. V dalším textu je demonstrován postup určení nejistoty při absolutní vzdálenosti čidla od terče s = 1, které odpovídá výstupní napětí ze snímače UOUT ≈ –18 V (viz tab. 2 a navazující výpočet v kap. 6.3). 

6.2 Stanovení působících vlivů a nejistoty B

Prvním krokem k určení nejistoty B je analýza situace a identifikace působících vlivů. Je třeba určit, které parametry musí být sledovány a během opakovaných měření udržo­vány konstantní.

Vlivy, které je možné identifikovat téměř u každé měřicí úlohy jako první, jsou vlivy nedokonalosti použitých měřicích přístrojů, zde mikrometru a voltmetru, charakterizované jejich chybami. Mezní hodnoty chyb přístrojů lze snadno nalézt v katalogových listech dodávaných výrobci. Mezní chyba voltmetru o velikosti (0,025 % + 2 digity) se promítá přímo do měřené veličiny, proto je koeficient citlivosti roven jedné. Mezní chyba mikrometru je 2 µm a promítne se do měřené hodnoty UOUT s citlivostí zjištěnou v katalogovém listu snímače (8 V/mm).

Dalším častým vlivem je působení parametrů prostředí, zejména teploty. Popisované měření probíhá v ustálených laboratorních podmínkách při teplotě asi 25 °C s jen malými odchylkami. Parametry všech použitých komponent se v daném rozmezí teploty mění natolik nepatrně, že jejich změny není třeba uvažovat. Stejně tak jiné vlivy prostředí (vlhkost, záření, elektromagnetické pole) jsou udržovány v určených mezích neovlivňujících kvalitu měření.

Jistý vliv bude mít přesnost simulátoru posunutí závislá na jeho mechanické vůli, homogenitě materiálu terče, nesouhlasnosti os čidla a terče atd. Protože k danému simulátoru posunutí neexistuje žádná dokumentace, bylo vykonáno několik měření, přičemž cílem bylo orientačně zjistit parametry ovlivňující přesnost. Bylo zjištěno, že s použitým vybavením jsou vlivy jako mechanické vůle a nesouhlasnost os neměřitelné, tudíž neovlivňující získávané výsledky. Vlivy odchylek od rovinnosti, nehomogenity a složení materiálu terče nemohly být proveditelným měřením zjištěny. Kvalifikovaným odhadem bylo stanoveno, že odchylky těchto parametrů od jmenovitých hodnot nemají pro daný případ v praxi žádný význam.

Parametry senzoru jsou zkoumanou záležitostí, a nemohou tedy být zahrnovány do nejistot. Jediným zbývajícím prvkem měřicího řetězce zůstává napájecí zdroj. Kolísání jeho výstupního napětí bylo vyčteno z dokumentace od výrobce (±2 %). Koeficient citlivosti výstupu z konvertoru na kolísání napájecího napětí konvertoru byl převzat z katalogového listu konvertoru a činí 20 mV/V.

Rozdělení pravděpodobnosti je u všech sledovaných vlivů rovnoměrné, proto χj = √3.

Jednotlivé zjištěné mezní chyby sledovaných vlivů jsou podle (2) přepočítány na příslušné dílčí nejistoty uBZj. Vstupní hodnoty a výsledky výpočtů jsou shrnuty v tab. 1.

Jelikož se v daném jednoduchém případě nevyskytují žádné korelace nejistot, určí se celková nejistota B dosazením odpovídajících hodnot z tab. 1 do vztahu (4), odkud se jako výsledek dostane uBx = 0,009 976 24 V.

Je nutné si uvědomit, že toto určení platí jen pro dané podmínky. Budou-li uskutečňována jinak shodná měření v provozních podmínkách, mohou se objevit další vlivy, které bude nutné zahrnout do výpočtu.

Z analýzy vyplynulo, že během opakovaných měření není třeba zvlášť hlídat některý z vlivů. Jediné, co je třeba vždy přesně nastavit, je odpovídající vzdálenost posunutí. 

6.3 Stanovení nejistoty A

Údaje získané opakovaným měřením obsahuje tab. 2.

Aritmetický průměr z naměřených hodnot UOUT, který odpovídá cílenému výsledku měření, se určí podle vztahu 

vzorec                                                        (7) 

z něhož se dosazením hodnot z tab. 2 získá UOUT = –18,089.

Nejistota A se určí s použitím (1) při dosazení n = 10, ks = 1, naměřených napětí z tab. 2 namísto xi a UOUT  namísto x, čímž se dostane uAx = 0,000 83 V.

Povšimněme si, že nejistota A je více než desetkrát menší než nejistota B.

6.4 Výpočet kombinované a rozšířené nejistoty, výsledek

Hodnota kombinované nejistoty uCx se určí triviálním výpočtem 

vzorec                                                        (8) 

Výsledek (8) ukazuje, že nejistota A má na hodnotu kombinované nejistoty minimální vliv. Obdobného výsledku bylo dosaženo i u všech ostatních měření při různých posunutích s. Plyne z toho zajímavý závěr – není třeba měřit opakovaně, neboť náhodné vlivy se ve výsledcích měření projevují zanedbatelně! Tato skutečnost vede ke značnému zjednodušení práce, ale platí jen za daných podmínek, tj. se shodnými přístroji a shodném prostředí.

Za předpokladu platnosti zákonitostí popsaných v rámci pojednání o rozšířené nejistotě je očekáváno normální rozdělení pravděpodobnosti. Proto se bez problémů volí rozšíření k = 2, odpovídající konfidenční úrovni 95 %, a rozšířená nejistota U je 

U = kuCx = 2·0,007 = 0,014 V, po zaokrouhlení nahoru 0,02 V                                   (9) 

Výsledkem měření a stanovení nejistot je tedy údaj UOUT = (–18,09 ± 0,02) V.

7. Závěr

Měření je nezastupitelným zdrojem informací ve všech proměnných procesech. Rostoucí požadavky na přesnost nutí stále větší skupinu odborníků věnovat pozornost problematice nejistot měření. Určování nejistot měření je ve své podstatě založeno na jednoduchých principech. Základem je zavedení pravděpodobnostního přístupu do úvah o přesnosti měření. Teorii, na které je celá problematika založena, lze v celé šíři dohledat v mnoha normativních dokumentech. Pro některé specifické měřicí úlohy byly vydány i normy, např. [4], [5] a [6], které mají v daných případech usnadnit a sjednotit určování nejistot.

První ze dvou souvisejících článků poskytuje jednoduchý průřez vědomostmi nutnými k pochopení základů a jejich použití. Použití teoretických postupů v praxi naráží na mnohé obtíže, z nichž některé jsou popsány. Na příkladu ve druhém z článků je ukázáno, že samotné určení nejistoty není příliš obtížné a nejsou k němu třeba žádné zvláštní znalosti. Problémem je určit takovou hodnotu nejistoty, která bude co nejpřesněji reflektovat reálné podmínky daného měření. Již bylo několikrát zdůrazněno, že hlavní překážkou v této snaze je citlivost jednotlivých úkonů určování nejistot na subjektivitu. Zde uvedené metody mohou pomoci tento vliv minimalizovat.

Vždy je třeba mít na paměti důvody, pro něž nejistoty měření existují a pro něž jsou určovány. Jde v první řadě o možnost porovnávat přesnosti jednotlivých výsledků nebo obecněji produktů. Aby mohl být tento účel splněn, je nezbytné se v maximální možné míře snažit o objektivní posouzení všech působících vlivů. Samotný proces určování nejistot má současně ještě jeden podstatný význam. Poskytuje podrobnou informaci o celém procesu měření jak tomu, kdo měření provádí, tak i uživateli získaných výsledků. Díky těmto údajům lze přesně určit slabý článek v procesu měření a na základě toho určit, kde se vyplatí investovat do zlepšování měřicích postupů a kde by šlo o plýtvání prostředky. 

Literatura:

[1] TŮMOVÁ, O.: Metrologie a hodnocení procesů. BEN Praha, 2009.

[2] TŮMOVÁ, O. – PANC, T.: Vyhodnocení nejistot měřicího řetězce pro zjišťování relativního chvění rotoru. Dílčí výzkumná zpráva FEL ZČU/Profess Plzeň, 2012.

[3] Pokyn pro vyjadřování nejistoty měření (GUM). ÚNMZ, 2012.

[4] ČSN EN 55016-4-2 Specifikace přístrojů a metod pro měření vysokofrekvenčního rušení a odolnosti, Část 4-2: nejistoty, statistické hodnoty a stanovování mezí – Nejistoty při měřeních EMC.

[5] ČSN EN ISO 20988 Kvalita ovzduší – Pokyny pro určení nejistoty měření.

[6] ČSN EN 60068-3-11 Zkoušení vlivů prostředí – Část 3-11: Doprovodná dokumentace a návod – Výpočet nejistoty podmínek v klimatických komorách.

[7] UHROVÁ, H.: Nejistoty měření a zpracování výsledků – Laboratorní cvičení z fyziky. Praha, VŠCHT, 2001, s. 20–36.

[8] MELOUN, M. – MILITKÝ, J.: Statistické zpracování experimentálních dat.

[9] TŮMOVÁ, O. – PANC, T.: Možnosti vyjádření přesnosti měření I: teoretický základ. Automa, 2013, roč. 19, č. 7, s. 33–35. 

doc. Ing. Olga Tůmová, CSc. (tumova@ket.zcu.cz), Ing. Tomáš Panc (panct@ket.zcu.cz),

katedra technologií a měření, Fakulta elektrotechnická, Západočeská univerzita v Plzni

Obr. 1. Schéma uspořádání experimentálního zařízení

Tab. 1. Rušivé vlivy působící při modelovém měření, koeficienty citlivosti a příslušné dílčí nejistoty B

Vliv Zj

Δzjmax

Koeficient
citlivosti
cxZj

c?j

uBZj (V)

výpočtem

j

zdroj

hodnota

jednotka

1

chyba
mikrometru

2

µm

8 V/m

3

9,24· 10–6

2

chyba
voltmetru

0,025 %

UOUT + 2 digity1)

V

1 V/V

3

3,8· 10–3

3

kolísání napájecího napětí Ucc

2 % ze jmenovité hodnoty 24 V DC2)

V

0,02 V/V

3

5,6· 10–3

 

1) tj. Δz2max = 0,025 · 10–2 · |–18,089| + 2 · 0,001 = 0,006 522 25 V

2) tj. Δz3max = 2 · 10–2 · 24 = 0,48 V

 

Tab. 2. Údaje získané opakovaným měřením v modelovém příkladu

Pořadové číslo

měření i

Nastavená vzdálenost s
(mm)

Naměřená

hodnota UOUTi (V)

1

1

–18,093

2

–18,087

3

–18,087

4

–18,092

5

–18,087

6

–18,092

7

–18,087

8

–18,091

9

–18,087

10

–18,087