Inspiromat pro výuku a Tecomat: co v učebnici automatizace nebylo (část 1 – měření teploty)

Seriál o využití PLC ve výuce začíná poněkud překvapivě pasáží o analogovém měření teploty a o vlastnostech tepelných soustav. Programovatelné automaty jsou zcela univerzální systémy. Měření analogových veličin a řízení spojitých soustav jsou již dávno jejich přirozenou doménou použití. Cílem této části seriálu je narušit ustálený postup výuky, kdy je důsledně oddělován výklad spojitých a diskrétních soustav (regulace a logické řízení). Uváděné příklady studentům umožní intuitivně pochopit vlastnosti tepelných soustav a podstatu jejich dynamiky. V praxi se pak mohou řídit alespoň „technickým citem a selským rozumem“, i v případě, že potřebnou teorii „nestrávili“ nebo zapomněli. 

Měření s výukovým kufříkem

V textu jsou uváděny příklady měření, které v rámci své studentské praxe prováděl Ing. Josef Černý (tehdy ještě student Fakulty dopravní ČVUT v Praze). K dispozici měl „výukový kufřík“, zapůjčený z firmy Teco (viz článek Inspiromat pro výuku a Tecomat: co v učebnici automatizace nebylo (úvod). Automa, 2018, 2-3, str. 28 až 29). Kromě programovatelného automatu Tecomat Foxtrot, napájecího zdroje, přídavných modulů a prezentačních přístrojů obsahuje i modul C-OR 0202B připojený ke komunikační sběrnici CIB (www.tecomat.com). Obsahuje dvojici reléových výstupů (DO1 a DO2) a dva analogové vstupy (AI1 a AI2). K nim jsou připojeny dva senzory pro měření teploty. Polovodičový senzor (termistor) NTC 12k je součástí kufříku. Není vodotěsný a pro ponoření do kapaliny je třeba jej upravit, např. zabalením do polyetylenového sáčku, popř. umístit do suché zkumavky či ampule. Alternativně je používán ještě odporový senzor Pt1000 v ponorném provedení. Připojení obou senzorů k modulu C-OR 0202B je patrné z obr. 1. Měření je automaticky řízeno jednoduchým programem, vytvořeným ve vývojovém systému Mosaic. Grafy časových průběhů jsou zobrazeny s využitím jeho nástroje GraphMaker. 

Měření tělesné teploty

V situaci, kdy chceme znát teplotu lidského těla, použijeme dostupný lékařský teploměr (kapalinový nebo elektronický) a obvykle jej vložíme do podpažní jamky. Po určité době (obvykle po několika minutách) přečteme ustálený údaj z teploměru a získáme tak informaci o své tělesné teplotě. Patrně nás ani nenapadne zajímat se o to, jakým způsobem se údaj teploměru mění v průběhu měření – jak probíhá přechodový děj v teploměru. V domácích podmínkách by to bylo dost komplikované, ale při automatizovaném měření s programovatelným automatem je to snadné. 

Příklad 1: změřte svou teplotu v podpaží

Z praktických důvodů byl použit polovodičový senzor (termistor) NTC 12k. Průběh teploty měřené v podpaží je uveden na obr. 2. Hodnoty na svislé ose jsou uváděny ve stupních Celsia, údaje na vodorovné ose jsou v sekundách, rozteči svislých čar v rastru odpovídá interval 30 s. Měření bylo ukončeno zhruba po 90 s. Měřená hodnota by se sice stále ještě mírně zvyšovala (přechodový děj by teoreticky trval nekonečnou dobu, podobně jako třeba při nabíjení kondenzátoru), ale nárůst hodnoty už lze zanedbat a za ustálenou teplotu lze považovat hodnotu 35,5 °C – je možné ji odhadnout už po době 30 s. Po vyjmutí senzoru z podpaží následuje jeho ochlazování na teplotu okolního vzduchu. Je zřejmé, že oba přechodové děje mají podobný charakter, ale jinou rychlost (dynamiku). První proces (ohřívání hmoty senzoru) je rychlejší, protože přestup tepla z pokožky na senzor je intenzivnější než přestup tepla mezi senzorem a okolním vzduchem při chladnutí.

Úlohy:

• Změřte tělesnou teplotu různými lékařskými teploměry a porovnejte výsledky.
• Stejným způsobem změřte teplotu několika osobám – budou shodné?
• Zacvičte si (třeba dřepy, kliky, zaběhejte si) a pak znovu změřte svou tělesnou teplotu.
• Měřte svou tělesnou teplotu dlouhodobě (v průběhu dne nebo několika dnů) – od ranního probuzení do usínání, asi v hodinových intervalech (stačí obvyklým lékařským teploměrem) a vykreslete graf průběhu hodnot. Kdy je teplota nejnižší a kdy nejvyšší? Lze z průběhu rozpoznat tělesné aktivity (pohyb, klid, jídlo, psychický stav)? 

Příklad 2: změřte svou teplotu na jiných místech těla

Graf na obr. 3 ukazuje průběh teploty senzoru tisknutého mezi palcem a ukazováčkem. Je patrné, že teplota senzoru se ustálí již asi po 30 s, ale na hodnotě jen 33 °C – v periferních částech těla je teplota nižší. Mezi stisknutými prsty je přestup tepla intenzivnější. Ochlazování senzoru má shodný průběh jako při předchozím měření.

Úlohy:

• Změřte teplotu na různých místech těla (např. v loketní jamce, na čele a na jiných místa povrchu těla, dýchejte na senzor apod.).
• Zkuste ruce ohřát (např. třením dlaní, kroužením paží nebo ponořením do teplé vody) a znovu změřte teplotu mezi prsty. Podobně postupujte po ochlazení rukou ponořením do chladné vody.
• Uvolněte se vsedě, vložte ruce do klína dlaněmi nahoru a na sebe, mezi ně vložte senzor a představujte si, že se ruce ohřívají. Možná se vám podaří skutečně změřit narůstající teplotu – obzvláště máte-li zkušenosti s autogenním tréningem, jógou nebo jinými meditačními technikami. Nejde o žádné „šarlatánství“, ale o projev autosugesce. 

Souvislosti a analogie

V první části grafů na obr. 2 a obr. 3 se senzor ohřívá na teplotu měřeného objektu (zde těla). V každém okamžiku přechodového děje je tepelný tok úměrný rozdílu teplot a součiniteli přestupu tepla. Jak se senzor postupně ohřívá, zmenšuje se rozdíl teplot, a proces se tak zpomaluje. Obdobně při uvolnění senzoru se tento ochlazuje na teplotu okolního vzduchu. Protože součinitel přestupu tepla mezi senzorem a vzduchem má menší hodnotu, probíhá proces ochlazování pomaleji.

V elektrotechnice lze najít analogii v procesu nabíjení kondenzátoru (kapacitoru) podle levé části obvodu z obr. 4. Napětí zdroje U_t (ideálního zdroje napětí) odpovídá teplotě těla (která se v průběhu měření také nemění) a proměnné napětí U_s na kondenzátoru C1 odpovídá teplotě senzoru. Po připojení zdroje protéká obvodem proud úměrný vodivosti (1/R₁) a rozdílu napětí zdroje a na kondenzátoru (U_t – U_s). S nabíjením kondenzátoru se rozdíl napětí postupně snižuje a proces se zpomaluje – ale teoreticky probíhá do nekonečna, kdy se obě napětí vyrovnají (napětí na kondenzátoru se asymptoticky blíží k napětí zdroje). Proces má exponenciální průběh. Z teorie elektrických obvodů vyplývá, že pro napětí na kondenzátoru platí: 

vzorec

kde

R₁ je odpor rezistoru R1,

C₁ kapacita kondenzátoru C1,

τ    časová konstanta,

s   komplexní proměnná Laplaceovy transformace – často se interpretuje jako operátor derivace.

Při práci ve frekvenční oblasti ve Fourierově transformaci mu odpovídá součin jω, kde j je symbol pro imaginární jednotku a ω je kruhová frekvence.

Podobně odpovídá ochlazování senzoru proces vybíjení kondenzátoru podle pravé části obvodu z obr. 4 a jeho postupné vyrovnávání s hodnotou napětí zdroje U_v, jehož napětí odpovídá teplotě vzduchu. V našem případě je okolní vzduch chladnější než tělo, a jde tedy o proces ochlazování senzoru. Mohou být ale situace, kdy je okolní vzduch teplejší (např. v sauně nebo v extrémně horkém letním dni) a senzor se po uvolnění ohřívá – tepelný tok má opačný směr. Podobně by se nabíjel i kondenzátor, kdyby byl připojen ke zdroji vyššího napětí.

Názorná je hydraulická analogie se spojenými nádobami podle obr. 5. Teplotě senzoru zde odpovídá výška hladiny h_s v malé nádobce, která je připojena k velké nádrži s výškou hladiny h_t, jež představuje teplotu těla. Stejně jako malý senzor neovlivní teplotu těla a proud nabíjející kondenzátor ne­ovlivní napětí zdroje, ani objem malé nádobky neovlivní výšku hladiny ve velké nádrži – lze ji považovat za „zdroj konstantní hladiny“. Na počátku odpovídá hladina v nádobce klidovému stavu senzoru. Po uvolnění spojovací trubičky bude hladina v nádobce stoupat a postupně se vyrovnávat s hladinou ve velké nádrži. Průtok hadičkou je závislý na jejím průřezu nebo zaškrcení (jako hydraulické analogii rezistoru) a na rozdílu hladin – zde ale nikoliv úměrně samotnému rozdílu, ale hodnotě jeho odmocniny. Výsledkem je opět postupné vyrovnávání hladin, ale s poněkud jinou dynamikou než v předešlých případech. Ochlazování senzoru by odpovídala situace, kdy bychom nádobku připojili k nádrži s přiměřeně nižší hladinou, do které by voda odtékala (obr. 6). Situaci, kdy by teplota okolí byla vyšší než teplota senzoru, by odpovídala situace, kdy by hladina v nádrži byla vyšší a nádobka by se z ní plnila.

Hydraulická analogie sice neodpovídá přesně průběhům tepelných a elektrických procesů, ale její velkou výhodou je názornost. Navzdory tvrzení, že „elektrika není vodovod“, si plnění nádrží a přelévání kapaliny mezi nimi lze představit snáze než nabíjení a vybíjení kondenzátorů či „přelévání tepla“. Při vhodně uspořádaném experimentu je možné procesy ve spojených nádobách i vidět, popř. je automaticky měřit a zobrazovat s využitím PLC. Představa hydraulické analogie tepelných procesů v budovách (topení i chlazení) usnadňuje intuitivní náhled na jejich průběh – v podstatě vždy jde o „přelévání tepla“ z prostorů o vyšší teplotě do míst s nižší teplotou.

Podstatou dynamiky uvedených jevů je existence objektů (kapacitorů), které jsou schopné energii hromadit (akumulovat) a „přelévat“ ji z objektů s vyšším potenciá­lem (teplotou, elektrickým napětím, hladinou) do objektů s potenciálem nižším. Při měření teploty šlo o tepelnou kapacitu senzoru, v elektrické analogii to byl kondenzátor se svou kapacitou a v hydraulické analogii objem nádobky. Vždy to byl jediný prvek schopný akumulace. Mluví se tedy o jednokapacitní soustavě. V blokových schématech se obvykle značí symbolem podle obr. 7. 

Náměty pro čtenáře zdatné v teorii

• Uveďte matematický popis dějů, které probíhají v uvedených případech, diferenciálními nebo diferenčními rovnicemi.
• Jak lze matematicky popsat časové průběhy?
• Popište jednokapacitní soustavy prostředky Lapleceovy, Fourierovy transformace či Z-transformace.
• Podle zobrazených průběhů identifikujte parametry tepelné soustavy (odděleně pro ohřev senzoru a pro jeho ochlazování).
• Pokuste se vytvořit matematický model identifikované soustavy a porovnejte jeho chování s realitou. 

Kontrolní otázky

• Popište princip měření odporovým senzorem teploty.
• Jaké senzory pro měření teploty znáte, jaké jsou rozdíly mezi nimi a v jakých situacích se používají?
• Jaký je rozdíl mezi odporovými a polovodičovými senzory teploty?
• Jakými způsoby lze připojit odporové senzory k řídicímu systému, jaké jsou jejich vlastnosti a omezení?
• Jak lze převést analogový stav senzoru na číselný údaj?
• Vysvětlete podstatu kvantizačního šumu viditelného na zobrazovaných průbězích teplot. Co je příčinou drobných „schůdků“, obdélníků a krátkých impulzů („chlupů“)?
• Jakým způsobem lze časové průběhy vyhladit?

Ing. Ladislav Šmejkal, CSc., Teco, a. s., a externí redaktor Automa,
Ing. Josef Černý, někdejší student Fakulty dopravní ČVUT, Ing. Josef Kovář, učitel automatizace na SPŠE ve Zlíně

Obr. 1. Připojení senzorů tepoty k modulu C-OR 0202B

Obr. 2. Průběh měřené teploty těla v podpaží polovodičovým senzorem

Obr. 3. Průběh měřené teploty mezi palcem a ukazováčkem

Obr. 4. Elektrický obvod RC jako analogie ohřívaného a ochlazovaného senzoru

Obr. 5. Hydraulická analogie ohřívání senzoru

Obr. 6. Hydraulická analogie chladnutí senzoru

Obr. 7. Schematická značka jednokapacitní statické soustavy 

Poznámka k nespojitému průběhu

Při detailnějším pohledu na grafy na obr. 2 a obr. 3 je zřejmé, že grafy nemají zcela hladký průběh, ale lze na nich rozpoznat drobné „schůdky“, obdélníky nebo krátké impulzy („chlupy“). Jev se nazývá kvantizační šum. Vzniká při převodu spojitého (analogového) signálu na číslicový údaj, který má jen omezený počet hodnot, na které je převáděný signál zaokrouhlován. Modul C-OR 0202B sice obsahuje analogově-číslicový (A/D) převodník s převodem na číselný údaj v rozsahu 12 bitů (s rozlišením 4 096 hodnot), ale je používán pro současné převádění signálů z obou senzorů. Proto je převodník využíván jen v části rozsahu a pracuje s menším rozlišením. Pro převod signálu Pt1000 je využívána menší část rozsahu než u senzoru NTC 12k a rozlišení je ještě hrubší. Při kontrole lze zjistit, že přesnost měření je dostatečná. Rozlišení vyhovuje pro naše účely, stejně jako pro měření teploty v místnostech, pro které je modul C-OR 0202B určen.

Poznámka k terminologii

Kapacitor:

• v oboru modelování dynamických procesů označuje prvek schopný akumulovat energii (např. potenciální energie pružiny, elektrická energie, tlaková potenciální energie); příkladem kapacitoru může být pružina, elektrický kondenzátor nebo tlaková nádoba,
• v oboru teorie elektrických obvodů označuje ideální součástku, která se vyznačuje pouze kapacitou (ideální kondenzátor).

Kondenzátor: pasivní elektrotechnická součástka, jejíž charakteristickou vlastností je kapacita, ale vykazuje ještě další, parazitní vlastnosti, jako je indukčnost a odpor.

Rezistor: pasivní elektrotechnická součástka, která se v ideálním případě projevuje jedinou vlastností – elektrickým odporem.

Ideální zdroj napětí: zdroj elektrického napětí, jehož hodnota se nemění v závislosti na zátěži (na velikosti odebíraného proudu) – vyznačuje se nulovým vnitřním odporem.

Ideální zdroj proudu: zdroj elektrického proudu, jehož hodnota se nemění v závislosti na zátěži – vyznačuje se teoreticky nekonečným vnitřním odporem (lze si ho představit jako zdroj vysokého napětí se sériově zapojeným rezistorem o velkém odporu). 

Pierre-Simon Laplace

Autorem Laplaceovy transformace zmíněné v článku je Pierre Simon Laplace, francouzský vědec (23. března 1749 – 5. března 1827). Zabýval se matematikou (matematickou analýzou, teorií pravděpodobnosti), fyzikou (teorie potenciálu), astronomií (mechanikou nebeských těles, teorií vzniku sluneční soustavy). Z jeho bohatého díla je těžké vybrat to nejvýznamnější; oceňované jsou zejména jeho přínosy v oblasti matematické statistiky a teorie pravděpodobnosti, v nichž značně předběhl svou dobu.

Pierre-Simon Laplace žil v časech, kdy být vědcem patřilo mezi společensky uznávaná povolání, ale to s sebou neslo nejen možnost, ale i nutnost zapojovat se do veřejného života. Laplace jako Napoleonův příznivec se nakrátko stal ministrem vnitra Napoleonovy vlády, ale brzy se ukázalo, že geniální vědec nemusí být geniální státní úředník, a proto musel funkci opustit. Po porážce Napoleona a restauraci Bourbonů se přiklonil k podpoře království, a Ludvík XVIII. ho dokonce povýšil na markýze. Laplaceova politická vypočítavost jistě nemůže být vzorem, naproti tomu na rozdíl od svého přítele a spolupracovníka Antoina Lavoisiera neskončil za Francouzské revoluce pod gilotinou.

Laplaceova transformace patří mezi integrální transformace a používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic. V technice se s ní lze setkat při studiu vlastností dynamických systémů spojitě pracujících v čase. Jejím protějškem pro diskrétní systémy je Z-transformace. Mezi další často používané integrální transformace patří Fourierova transformace nebo vlnková transformace. 

                                                                                                               (Bk)